Solución A1 - Propiedades de los determinantes

CUESTIÓN A.1: Demuestre, sin utilizar la regla de Sarrus y sin desarrollar directamente por una fila y/o columna, que:
Indique en cada paso qué propiedad (o propiedades) de los determinantes se está utilizando. [2.5 puntos]

Las propiedades que vamos a utilizar son las siguientes: 
  1. Si sustituimos una fila (o columna) por una combinación lineal de filas (o columnas), el valor del determinante no varía.
  2. Si una fila (o columna) del determinante es combinación lineal de otras filas (o columnas) del determinante, su valor es cero.
  3. Si dos filas (o columnas) de un determinante son iguales (o proporcionales), el valor del determinante es cero. (En el fondo esta propiedad se desprende de la propiedad anterior).
VÍA 1:
Cuantos más ceros haya en el determinante, más ágil será  su resolución, porque menos productos habrá que hacer.

Es fácil conseguir ceros en la primera columna, dado que todos sus elementos son x.

Sustituyendo f2 -> f2 - f1  f3 -> f3 - f1, nos queda...

 

No hace falta desarrollar... basta observar que dos filas son proporcionales (propiedad 3).
VÍA 2:
Apoyándonos en la propiedad 2... Si una fila (o columna) del determinante es combinación lineal de otras filas (o columnas) del determinante, su valor es cero.

Alguien que sea un poco observador, puede darse cuenta de que f1 -> 2f2 - f3, por lo tanto, el determinante vale cero.

VÍA 3:
Sacamos factor común en el determinante a la primera columna...
 

Sustituyendo c2 -> c2 + c1 ó c3 -> c3 - c1, nos quedaría, en ambos casos, dos columnas iguales, por lo tanto, por la propiedad 3... el valor del determinante es cero.
  • c2 -> c2 + c1  
 
  • c3 -> c3 - c1