Estudio de la compatibilidad de un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas

Ejercicio 3. Calificación máxima:  2 puntos.
Dado el sistema: 
se pide:
    a) (1 punto) Estudiar la compatibilidad del sistema.
    b) (0,5 puntos) Añadir una ecuación para que el sistema sea compatible determinado. Razonar la respuesta.
    c) (0,5 puntos) Añadir una ecuación para que el sistema sea incompatible. Razonar la respuesta.

El análisis de un sistema de ecuaciones de tres incógnitas puede hacerse desde tres perspectivas:
  • Estudio del rango de matrices.
  • Resolución del sistema sin estudiar rangos, utilizando el método de Gauss.
  • Interpretación geométrica del mismo.
Realizaremos el análisis por las tres vías.

a) 
  • El rango de la matriz principal es 2, hay 3 incógnitas. Sistema compatible indeterminado. Para probar que el rango es 2, hagamos un determinante cualquiera de la matriz principal. (El rango de la matriz ampliada evidentemente, también es 2.)
  • Resolviendo por Gauss, resulta:

        Si quisiéramos resolver, podemos tomar z=t y despejar x e y en función de t.
  • Tenemos dos planos que no son paralelos porque no tienen el mismo vector asociado, por lo tanto, se cortarán en una recta. Tenemos un sistema compatible indeterminado. 
b) Consideremos la ecuación z=0
  • Resolviendo el determinante por la tercera fila, nos aparece el mismo que en el apartado a. El rango es 3 y, el rango de la matriz ampliada también es 3. Sistema compatible determinado.
  • Resolviendo por Gauss, obtenemos una solución para z, que podemos sustituir en las ecuaciones anteriores para despejar x e y, resultando una solución única.
  • Hemos añadido un tercer plano con vector asociado diferente a los dos que ya teníamos y que no es combinación lineal de estos. Cortan en un punto. Tenemos un sistema compatible determinado.
c) Consideremos la ecuación x+2y-z=1
  • El rango de la matriz principal sigue siendo dos, porque hay dos filas paralelas iguales. Si algún determinante de la matriz ampliada es distinto de cero, el rango de la matriz ampliada será tres, esto es rangA<rangA+ y el sistema será incompatible.
       | 1   2  0|
        | 2  -1  3|=1·(-1)·1+2·2·0+1·2·3-(0·(-1)·1+3·2·1+1·2·2=-1+0+6-(0+6+4)=7-10=-3
        | 1   2  1|
  • Resolviendo por Gauss, en la tercera fila aparece que 0=1. Sistema incompatible.

  • Hemos añadido un tercer plano, paralelo al primero. El segundo plano corta a los otros dos en rectas diferentes. El sistema es incompatible.