SEPTIEMBRE 2010 - FASE GENERAL - OPCIÓN B

Ejercicio 1. Calificación máxima: 3 puntos.
Dados el plano 
π ≡ 2x - 3y + z = a
y el plano π2 determinado por el punto P(0, 2, 4) y los vectores v1=(0, 2, 6) y v2=(1, 0, b), se pide:
    a) (1 punto) Calcular los valores de a y b para que π1π2 sean paralelos.
    b) (1 punto) Para a = 1 y b = 0 determinar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de π1 y π2.
    c) (1 punto) Para a = 4 y b = -2 determinar los puntos que están a igual distancia de π1 y π2.

Ejercicio 2. Calificación máxima: 3 puntos.
Los puntos P(1, 2, 1), Q(2, 1, 1) y A(a, 0, 0) con a > 3, determinan un plano π que corta a los semiejes positivos de OY y OZ en los puntos B y C respectivamente. Calcular el valor de a para que el tetraedro determinado por los puntos A, B, C y el origen de coordenadas tenga volumen mínimo.

Dado el sistema: 
se pide:
    a) (1 punto) Estudiar la compatibilidad del sistema.
    b) (0,5 puntos) Añadir una ecuación para que el sistema sea compatible determinado. Razonar la respuesta.
    c) (0,5 puntos) Añadir una ecuación para que el sistema sea incompatible. Razonar la respuesta.

Ejercicio 4. Calificación máxima: 2 puntos.
Dada la matriz:
se pide:
    a) (1 punto) Estudiar el rango de A según los valores del parámetro a.
    b) (1 punto) ¿Para qué valores de a existe la matriz inversa A-1? Calcular A-1 para a=1.