Posición relativa entre recta y plano

Dados el plano π ≡ x − y + 2z = 1 y la recta 
Determinar la posición relativa entre el plano π y la recta r.
Repasando un poco la teoría...

Las posiciones relativas posibles entre una recta y un plano son tres: paralelos, secantes (se cortan en un punto) o coincidentes (la recta está incluída en el plano).

Tal vez la forma más sencilla sea pasar la ecuación de la recta r a su ecuación paramétrica y sustituir un punto genérico de la misma en el plano. En función de la ecuación que nos resulte, interpretando el resultado con sentido común, sabremos deducir la posición relativa.

Tenemos tres posibilidades:
  • Obtener un sistema compatible indeterminado → existe una solución y es única  → plano y recta secantes
  • Obtener un sistema compatible indeterminado → existen numerosas soluciones posibles  → plano y recta coincidentes
  • Obtener un sistema y compatible → no existe solución → no existe punto de corte → plano y recta paralelos.
Igualando las fracciones a t, y despejando x, y, z, en función de t obtenemos la recta en forma paramétrica:

Sustituyendo un punto genérico de la recta en el plano, nos queda la ecuación que queremos resolver...

π ≡ x − y + 2z = 1 → π ≡ (-6t) − (t-1) + 2(2t) = 1 → -6t -t +1 +4t = 1 → -3t = 0 → t=0

El punto de la recta obtenido para t=0, está incluido en el plano y es único. El plano y la recta son secantes.

Podemos asegurarnos sustituyendo...
  • Para t=0, con la ecuación paramétrica obtenemos el punto P(0,-1, 0)
  • Verificamos que el punto P(0, -1, 0) está en el plano sustituyendo los valores de x, y, z en la ecuación del plano → π ≡ x − y + 2z = 1 → 0 -(-1) + 2·0 =1 → 1=1 → se cumple la ecuación para el punto P P pertenece al plano.