Plano que contiene una recta y pasa por un punto

Dados el plano π ≡ x − y + 2z = 1 y la recta 
Determinar el plano que contenga a r y pase por P(1, 1, 1).
Para definir un plano, nos basta un punto y una recta. 

Necesitamos el vector asociado al plano, que es perpendicular a éste y que, por tanto, será perpendicular a todas las rectas contenidas en el mismo. Una de las rectas, ya la tenemos. Otra la definimos con un punto al azar de la recta r y el punto P, que nos dan.

Consideremos: 
→ x=0 
→ y+1=0 → y=-1
→ z=0

Sea Q(0, -1, 0) el punto obtenido... El vector director de la recta r´ que pasa por Q y P será:

El vector asociado al plano es perpendicular al vector director de ambas rectas. Calculamos:


El plano que nos piden será: 
π´ -3x + 10y -13z = D

D, se calcula sustituyendo en la ecuación un punto del plano, por ejemplo P(1, 1, 1) → π´ -3·1 + 10·1 -13·1 = D → -3+10-13=D → D=-6

π´ -3x + 10y -13z = -6