Cálculo de los coeficientes de un polinomio en función de sus extremos relativos y su recta tangente

Dado el polinomio P(x) = x3+ax2+bx+c, obtener los valores de a, b y c de modo que se verifiquen las condiciones siguientes:

El polinomio P(x) tenga extremos relativos en los puntos de abscisas x = -1/3, x = -1.

Los extremos relativos, ya sean máximos o mínimos deben tener derivada 0. Calculamos en primer lugar la derivada: P'(x) = 3x2+2ax+b

Sustituimos los valores indicados en la ecuación:

Solución: a=-5/2, b=-2

El valor de c no influye en los valores de x en los que se alcanza el máximo o el mínimo.

Podemos verlo en el siguiente gráfico:







La recta tangente a la gráfica de P(x) en el punto (0; P(0)) sea y = x + 3.

Una recta responde a la ecuación y = mx + n; siendo: 

  • m el valor de la pendiente de la recta 
  • n es la "ordenada en el origen", esto es, el valor de y para x = 0.

A su vez, el valor numérico de la derivada en un punto x corresponde a la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto. Por lo tanto, f'(x) = m.

Traduciéndolo al polinomio: P(x) = x3+ax2+bx+c, a su derivada: P'(x) = 3x2+2ax+b y a la recta que nos dany = x + 3.
  • m = 1 = P'(0) = 3·02+2a·0+b = b  -> b=1
  • n = 3 = P(0) = 03+a·02+b·0+c = c -> c=3

Solución: b=1, c=3

El valor de a no influye en el valor de la pendiente de la recta tangente en el origen. Sólo depende de b.

Podemos verlo en el siguiente gráfico:


Los distintos valores de a son independientes de la recta tangente en el origen.