MODELO 2010 - Publicado por la UCM - OPCIÓN A

Ejercicio 1. Calificación máxima: 3 puntos.
Dada la función:
f(x)=ex+ae-x,
siendo a un número real, estudiar los siguientes apartados en función de a:
    a) (1,5 puntos) Hallar los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.
    b) (1 punto) Estudiar para que valor, o valores, de a la función f tiene alguna asíntota horizontal.
    c) (0,5 puntos) Para a≥0, hallar el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de f, el eje OX y las rectas x = 0, x = 2.

Ejercicio 2. Calificación máxima: 3 puntos.
Se consideran las rectas:
    a) (1,5 puntos) Determinar la ecuación de la recta t que corta a r y s, y que contiene al origen de coordenadas.
    b) (1,5 puntos) Determinar la mínima distancia entre las rectas r y s.

Ejercicio 3. Calificación máxima: 2 puntos.
Obtener, para todo número natural n, el valor de:

Ejercicio 4. Calificación máxima: 2 puntos.
Discutir razonadamente, en función del parámetro k el siguiente sistema: