Idea Feliz - Integral cíclica utilizando números complejos


Utilizando variable compleja... es mucho más sencillo

Recordemos que: 

Podríamos escribir: 

Observaciones:
  • La función más fácil de integrar es la exponencial.
  • Podemos hacer una integral compleja, teniendo en cuenta que, la parte real del resultado será la integral de la que partimos.
  • No nos lo piden, pero la parte imaginaria de la integral, se corresponderá con 
Primero calculemos la integral indefinida. Después, ya sustituiremos los valores...

 

multiplicando por  el conjugado para separar fácilmente parte real de parte imaginaria...


Sustituyendo 

Separando parte real de parte imaginaria... (no olvidemos que el resultado de nuestra integral es la parte real)


Por tanto,


Idéntico resultado al obtenido por las vías 1 y 2

Como nos piden la integral definida...


Esta es, con diferencia, la vía más rápida y, estando familiarizado con las operaciones con números complejos, es muy difícil equivocarse.