Solución 4.a - Integración por partes - Integral cíclica


VÍA 1:
Probemos integrando por partes: 

Tomemos:

Sustituyendo en la integral... (indefinida, luego sutituimos los valores...)


Centrémonos en la parte escrita en azul, que volvemos a integrar por partes...


Sustituyendo... (y prestando mucha atención a los signos...)

Volviendo a la integral inicial...

En esta segunda integración por partes, vuelve a aparecer la integral de la que partíamos!

  

La integral es la incógnita de una ecuación...



No olvidemos que la integral es definida...


VÍA 2:
¿Y si hubiéramos integrado por partes considerando las funciones justo al revés, integrando igualmente por partes?

Es decir, tomando:

Sustituyendo...

Fijándonos solo en el término azul...

Sustituyendo...

Volviendo a la integral inicial...

Como pasó resolviendo según la vía 1, vuelve a aparecer la integral de la que partíamos, y podemos considerarla la incógnita de una ecuación...

  




 

El mismo resultado que por la vía 1. Por lo tanto, el resultado de la integral definida será el mismo: