Solución 3

Hallar a, b, c de modo que la función f(x) = x3 + ax2 + bx + c alcance en x = 1 un máximo relativo de valor 2, y tenga en x = 3 un punto de inflexión.
El mero enunciado nos dice:
  1. f(1)=2
  2. f´(1)=0
  3. f´´(3)=0
Calculemos f´(x) y f´´(x) y sustituyamos.
  • f´(x)=3x2+2ax+b
  • f´´(x)=6x+2a
Sustituyendo:
  1. f(1)=2=1+a+b+c
  2. f´(1)=0=3+2a+b
  3. f´´(3)=0=6·3+2a
De (3), sacamos:
  • 18+2a=0 -> a=-9
Sustituyendo en (1) y en (2)
  1. f(1)=2=1+a+b+c=1-9+b+c
  2. f´(1)=0=3+2a+b=3-18+b
De (2), sacamos:
  • 0=3-18+b -> b=15
Sustituyendo (2) en (1)
  1. f(1)=2=1+a+b+c=1-9+b+c=-8+15+c
Por tanto,
  • 2=7+c -> c=-5
Un último matiz... se indica que en x=1 tenemos un máximo relativo. De ser así f´´(1)<0. ¿Es eso cierto?

f´´(1)=6·1-18=-12 -> efectivamente, es un máximo.

Solución: f(x)= x3 - 9x2 + 15x - 5