JUNIO 2011 - OPCIÓN B

Ejercicio 1. Calificación máxima: 3 puntos.
Dada la función
se pide:
    a) (1 punto) Determinar el valor de a para el que la función posee un mínimo relativo en x = 1. Para ese valor de a, obtener los otros puntos en que f tiene un extremo relativo.
    b) (1 punto) Obtener las asíntotas de la gráfica de y = f(x) para a = 1.
    c) (1 punto) Esbozar la gráfica de la función para a = 1.

Ejercicio 2. Calificación máxima: 3 puntos.
    a) (2 puntos) Discutir el sistema de ecuaciones AX = B, donde
    según los valores de m.
    b) (1 punto) Resolver el sistema en los casos m = 0 y m = 1.

Ejercicio 3. Calificación máxima: 2 puntos.
Dados los planos
π1 ≡ 2x + y - 2z = 1 ; π2 ≡ x - y + 2z = 1 ;
se pide:
    a) (0'5 puntos) Estudiar su posición relativa.
    b) (1'5 puntos) En caso de que los planos sean paralelos hallar la distancia entre ellos; en caso de que se corten, hallar un punto y un vector de dirección de la recta que determinan.

Ejercicio 4. Calificación máxima: 2 puntos.
    a) (0'75 puntos) Hallar la ecuación del plano π1 que pasa por los puntos A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) y C(0, 0, 1).
    b) (0'75 puntos) Hallar la ecuación del plano π2  que contiene al punto P(1, 2, 3) y es perpendicular al vector v(-2, 1, 1).
    c) (0'5 puntos) Hallar el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y P.