JUNIO 2011 - OPCIÓN A - Exámenes de PAU resueltos

EXÁMENES DE SELECTIVIDAD DE MATEMÁTICAS II - MADRID‎ > ‎

JUNIO 2011 - OPCIÓN A

Ejercicio 1. Calificación máxima: 3 puntos.

Dada la matriz

$A= \begin{pmatrix} 2a & -2 & a^2 \\ -1 & a & -1 \\ 2 & 1 & a \end{pmatrix}$

a) (1 punto) Calcular el rango de A en función de los valores de a.

b) (1 punto) En el caso a = 2, discutir el sistema

$A\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ b \end{pmatrix}$

en función de los valores de b, y resolverlo cuando sea posible.

c) (1 punto) En el caso a = 1, resolver el sistema A

$A\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

Ejercicio 2. Calificación máxima: 3 puntos.

a) (1'5 puntos) Hallar el volumen del tetraedro que tiene un vértice en el origen y los otros tres vértices en las intersecciones de las rectas

$r_1 \equiv x=y=z, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r_2 \equiv \begin{cases} y=0, \\ z=0, \end{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r_3 \equiv \begin{cases} x=0, \\ z=0, \end{cases}$

con el plano π ≡ 2x + 3y + 7z = 24.

b) (1'5 puntos) Hallar la recta s que corta perpendicularmente a las rectas

$r_4 \equiv \frac{x+1}{1}=\frac{y-5}{2}=\frac{z+1}{-2}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r_5 \equiv \frac{x}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{-1}$

Ejercicio 3. Calificación máxima: 2 puntos.

a) (1 punto) Calcular la integral

$\int_1^3 x \sqrt{4+5x^2}dx$

b) (1 punto) Hallar los valores mínimo y máximo absolutos de la función

$f(x)= \sqrt{12-3x^2}$

Ejercicio 4. Calificación máxima: 2 puntos.

a) (1 punto) Calcular el siguiente límite:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ \sqrt{x} }{ \sqrt{x+ \sqrt{x} } }$

b) (1 punto) Demostrar que la ecuación 4x⁵ + 3x + m = 0 sólo tiene una raíz real, cualquiera que sea el número m. Justificar la respuesta indicando qué teoremas se usan.