SEPTIEMBRE 2012 - OPCIÓN B

Ejercicio 1. Calificación máxima: 3 puntos.
Dado el punto P(2, 1,−1), se pide:
    a) (0,5 puntos) Hallar el punto P′ simétrico de P respecto del punto Q(3, 0, 2).
    b) (1,25 puntos) Hallar el punto P′′ simétrico de P respecto de la recta r ≡ x − 1 = y − 1 = z.
    c) (1,25 puntos) Hallar el punto P′′′ simétrico de P respecto del plano π ≡ x + y + z = 3.

Ejercicio 2. Calificación máxima: 3 puntos.
Dada la función f(x) = x2sen x, se pide:
    a) (1 punto) Determinar, justificando la respuesta, si la ecuación f(x) = 0 tiene alguna solución en el intervalo abierto (π/2, π).
    b) (1 punto) Calcular la integral de f en el intervalo [0, π].
    c) (1 punto) Obtener la ecuación de la recta normal a la gráfica de y = f(x) en el punto (π, f(π)). Recuérdese que la recta normal es la recta perpendicular a la recta tangente en dicho punto.

Ejercicio 3. Calificación máxima: 2 puntos.
Sean a, b, c, d ∈ 3, vectores columna. Si
det(a, b, d) = −1, det(a, c, d) = 3, det(b, c, d) = −2,
calcular razonadamente el determinante de las siguientes matrices:
    a) (0,5 puntos) det(a, 3d, b).
    b) (0,75 puntos) det(ab, c, −d).
    c) (0,75puntos) det(d+3b, 2a, b−3a+d).

Ejercicio 4. Calificación máxima: 2 puntos.
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
x       - 2z =  2 ,
ax − y + z = −8 ,
2x      + az = 4 ,
se pide:
    a) (1,5 puntos) Discutir el sistema según los valores de a.
    b) (0,5 puntos) Resolverlo para a = −5.