JUNIO 2012 - OPCIÓN B

Problema B.1. Obteniu raonadament:
    a) Totes les solucions (x, y, z) de l’equació:
(4 punts).
    b) El determinant d’una matriu quadrada B de dues files, que té matriu inversa i que verifica l’equació B2 = B . (3 punts).
    c) El determinant d’una matriu quadrada A que té quatre files i que verifica l’equació:
sabent a més que el determinant de A és positiu. (3 punts).

Problema B.2. Es dóna la recta r d’equació
el pla π d’equació
on n i p són dos paràmetres reals.
Obteniu raonadament:
    a) Tots els valors de n per als quals la intersecció de la recta r i el pla π és un punt. (4 punts).
    b) El valor de n i el valor de p per als quals la recta r està continguda en el pla π . (3 punts).
    c) El valor de n i tots els valors de p per als quals la recta r no talla el pla π . (3 punts).

Problema B.3. Per a dissenyar un escut es dibuixa un triangle T de vèrtexs A = (0, 12) , B = (− x, x2) i C = (x, x2), sent x2<12 .
Obteniu raonadament:
    a) L’àrea del triangle T en funció de l’abscissa x del vèrtex C . (2 punts).
    b) Las coordenades dels vèrtexs B i C perquè l’àrea del triangle T siga màxima. (3 punts).
Per a completar l’escut s’afig al triangle T d’àrea màxima la superfície S limitada entre la recta y = 4 i l’arc de paràbola y = x2 , quan − 2 ≤ x ≤ 2 .
Obteniu raonadament:
    c) L’àrea de la superfície S. (3 punts).
    d) L’àrea total de l’escut. (2 punts).