JUNIO 2011 - OPCIÓN B

PROBLEMA B.1. Se da la matriz

donde m es un parámetro real

    a) Obtener razonadamente el rango o característica de la matriz  A  en función de los valores de m. (5 puntos)

    b) Explicar por qué es invertible la matriz  A  cuando  m=1.  (2 puntos)

   c) Obtener razonadamente la matriz inversa  A-1  de  A  cuando  m = 1, indicando los distintos pasos para la obtención de  A-1. Comprobar que loa productos A·A-1 y A-1·A  dan la matriz unidad. (3 puntos)



PROBLEMA B.2. En el espacio se dan las rectas

Obtener razonadamente:

    a) Un vector director de cada una de las rectas. (2 puntos)

    b) La ecuación del plano perpendicular a la recta r que pasa por el punto (0,1,3).  (3 puntos)

    c) El punto de intersección de las rectas r y s (2 puntos) y la ecuación del plano π  que contiene a estas rectas r  y  s (3 puntos).


 

PROBLEMA B.3.  Se desea construir un campo rectangular con vértices ABC y D  de manera que:

Los vértices A y B sean puntos del arco de la parábola  y=4–x2, –2≤x≤2, y el segmento de extremos A y B es horizontal.

Los vértices C y D sean puntos del arco de la parábola  y=x2–16, –4≤x≤4, y el segmento de extremos C y D es horizontal.

Los puntos A y C deben tener la misma abscisa, cuyo valor es el número real positivo x.

Los puntos B y D deben tener la misma abscisa, cuyo valor es el número real negativo –x.

Se pide obtener razonadamente:

a) La expresión S(x) del área del campo rectangular en función del número real positivo x. (4 puntos)

b) El número real positivo  x  para el que el área  S(x)  es máxima.  (4 puntos)

c) El valor del área máxima. (2 puntos)