Curso-2011-2012 - Sèrie 4

Responeu a CINC de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val 2 punts.
Podeu utilitzar calculadora, però no s’autoritzarà l’ús de calculadores o altres aparells que portin informació emmagatzemada o que puguin transmetre o rebre informació.
1. Determineu el rang de la matriu A en funció del paràmetre k.

[2 punts]

2. Sigui
a) Determineu si té alguna asímptota vertical, en funció del paràmetre b.
b) Indiqueu el valor dels paràmetres a i b perquè la funció f (x) tingui la recta y = 2x − 4 com a asímptota obliqua a+∞.
[1 punt per cada apartat]

3. Considereu el sistema d’equacions lineals següent:
a) Calculeu el valor o els valors del paràmetre a per al qual o per als quals el sistema és compatible indeterminat.
b) Quantes solucions té aquest sistema quan a=−3?
[1,5 punts per lʼapartat a; 0,5 punts per lʼapartat b]
4. Una fàbrica produeix diàriament x tones d’un producte A i (40 – 5x)/(10 – x) tones d’un producte B. La quantitat màxima de producte A que es pot produir és 8 tones. El preu de venda del producte A és 100€per tona i el del producte B és 250€ per tona.
a) Construïu la funció de la variable x que ens proporciona els ingressos diaris, suposant que es ven tota la producció.
b) Calculeu quantes tones de cada producte s’han de produir diàriament per a obtenir el màxim d’ingressos, i comproveu que és realment un màxim relatiu.
[0,5 punts per lʼapartat a; 1,5 punts per lʼapartat b]

5. Considereu les rectes de l’espai següents:
a) Comproveu que són secants.
b) Calculeu l’equació contínua de la recta que les talla i que és perpendicular a totes
dues.
[1 punt per cada apartat]

6. Donades la recta y = ax + 1 i la paràbola y=3x – x2,
a) Calculeu els valors del paràmetre a perquè siguin tangents.
b) Calculeu els punts de tangència.
[1,5 punts per lʼapartat a; 0,5 punts per lʼapartat b]