Intersecció de plans que depenen d'un paràmetre

1. Digueu per a quin valor del paràmetre m els plans
π1:x−y+mz=1, π2:x−y+z=m i π3:my+2z=3
tenen com a intersecció una recta.
[2 punts]

Els tres plans es tallen en una única recta si i solament si el sistema

és compatible indeterminat amb un grau de llibertat. Calculem el determinant de la matriu de coeficients d’aquest sistema,

L’estudi també es pot fer escalonant la matriu,

i veient que hi pot haver problemes per a m = 0 (en aquest cas la matriu encara no està escalonada) i per a m = 1.

Per a = 0, l’escalonament de la matriu ampliada del sistema ens condueix a

El sistema és incompatible i, per tant, els tres plans no tenen cap punt en comú. La seva intersecció no és una recta.

Per a = 1, l’escalonament de la matriu ampliada del sistema és

Ara el sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat.

En definitiva, els tres plans es tallen en una sola recta si i sol si = 1