Curso 2011-2012 - Sèrie 3


Responeu a CINC de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val 2 punts.
Podeu utilitzar calculadora, però no s’autoritzarà l’ús de calculadores o altres aparells que portin informació emmagatzemada o que puguin transmetre o rebre informació.

1. Digueu per a quin valor del paràmetre m els plans
π1:x−y+mz=1, π2:x−y+z=m i π3:my+2z=3
tenen com a intersecció una recta.

2. Donades la recta y=3x + b i la paràbola y = x2,
a) Calculeu l’abscissa del punt on la recta tangent a la paràbola és paraŀlela a la recta donada.
b) Calculeu el valor del paràmetre b perquè la recta sigui tangent a la paràbola.
[1 punt per apartat]

3. Donats el pla i la recta:
a) Calculeu el punt d’intersecció entre el pla i la recta.
b) Trobeu l’equació contínua de la recta s continguda en el pla π, que és perpendicular
a la recta r i talla la recta r.
[1 punt per apartat]

4. Donades les matrius
a) Comproveu que es compleix la igualtat (A+ B) (A– B)=A2 – B2.
b) És certa aquesta igualtat per a qualsevol parell de matrius quadrades A i B del mateix ordre? Responeu raonadament utilitzant les propietats generals de les operacions entre matrius, sense utilitzar matrius A i B concretes. [1 punt per apartat]
5. Un triangle equilàter de vèrtexs A, B i C té els costats de 8 cm. Situem un punt P sobre una de les altures del triangle, a una distància x de la base corresponent.
a) Calculeu l’altura del triangle de vèrtexs A, B i C.
b) Indiqueu la distància del punt P a cadascun dels vèrtexs (en funció de x).
c) Determineu el valor de x perquè la suma dels quadrats de les distàncies del punt P a cadascun dels tres vèrtexs sigui mínima.
[0,5 punts per lʼapartat a; 0,5 punts per lʼapartat b; 1 punt per lʼapartat c]