Curso 2011-2012 - Sèrie 1

Responeu a CINC de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val 2 punts.
Podeu utilitzar calculadora, però no s’autoritzarà l’ús de calculadores o altres aparells que portin informació emmagatzemada o que puguin transmetre o rebre informació.

1. Donats els plans π1:3x+y−2z+15=0 i π2:x+y+2z−103=0,
a) Comproveu que són perpendiculars.
b) Calculeu l’equació cartesiana (és a dir, de la forma Ax+By+Cz+D=0) del pla perpendicular a π1 i π2, que passa pel punt P=(1, 3, 2). [1 punt per cada apartat]

3. Sigui A una matriu quadrada d’ordre n de manera que A2 =O, en què O és la matriu nuŀla (la formada completament per zeros).
a) Comproveu que (A+ In)2 = 2A+ In.
b) Comproveu que les matrius B = In–A  i  C=A+In són l’una inversa de l’altra.
[1 punt per cada apartat]
2. La gràfica de la funció  és la següent:

a) Trobeu el punt de tall, (a, 0), de la funció amb la part positiva de l’eix OX.
b) Calculeu l’àrea del recinte limitat per la gràfica de f(x) i l’eix OX en el primer quadrant.
[0,5 punts per lʼapartat a; 1,5 punts per lʼapartat b]




4. Un rectangle és inscrit en el triangle que té els costats en les rectes d’equacions 
y = x, x + y = 8, y = 0,
i té un costat sobre la recta y = 0. Trobeu-ne els vèrtexs perquè la superfície sigui màxima.
[2 punts]