Curso 2011-2012 - Opción B

E1 - a) Calcular
    (1,5 puntos)

    b) Calcular los valores del parámetro a para que las tangentes a la gráfica de la función f (x) = ax3 + 2x2 + 3 en los puntos de abscisas x =1 y x = -1 sean perpendiculares. (1 punto)

E2 Se considera la función f (x) = ex + ln( x) , x∈(0,∞) donde ln denota el logaritmo neperiano.
    a) Estudiar la monotonía y las asíntotas de f (x). (1 punto)
    b) Demostrar que la ecuación x2ex -1 = 0 tiene una única solución c en el intervalo [0,1]. (0,75 puntos)
    c) Deducir que f presenta un punto de inflexión en c. Esbozar la gráfica de f.(0,75 puntos)

E3 - Sea M una matriz cuadrada que cumple la ecuación M2 - 2M = 3I , donde I denota la matriz identidad.
    a) Estudiar si existe la matriz inversa de M . En caso afirmativo expresar M-1 en términos de M e I . (1,25 puntos)
    b) Hallar todas las matrices M de la forma
    que cumplen la ecuación M2 - 2M = 3I . (1,25 puntos)

E4 - Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos P(2,1,3) y Q(1,3,1) ; los otros dos sobre una recta r que pasa por el punto R(-4,7,-6).
    a) Calcular la ecuación de la recta r. ( 0,5 puntos )
    b) Calcular la ecuación del plano que contiene al cuadrado. ( 1 punto )
    c) Hallar las coordenadas de uno de los otros vértices. ( 1 punto )