Problema de optimización - Máximo del producto de dos números

(0,75 puntos) Descomponer el número 12 en dos sumandos positivos de forma que el producto del primero por el cuadrado del segundo sea máximo.
Sean esos sumandos 12-x y x

Buscamos un máximo para la función f(x)=(12-x)x= 12x2-x3

Los puntos en los que una función f(x) alcanza su máximo (o su mínimo) tienen derivada 
f´(x)=0. Por lo tanto,

f´(x)=0=24x-3x2=x(24-3x)=0 Tenemos dos posibilidades:
  • x=0
  • 24-3x=0 --> 24=3x --> x=8

Evidentemente, si x=0, no tenemos un máximo, sino un mínimo, pues el producto será 0.

Si x=8, --> f(x)=4·82=256

Los sumandos son 4 y 8.