JUNIO 2012 - OPCIÓN A


1. Sea a un número real y el sistema lineal
a) (1,5 puntos) Calcule el determinante de la matriz de los coeficientes y determine para qué valores de a el sistema es incompatible, compatible indeterminado y compatible indeterminado.
b) (0,5 puntos) Resuelva el sistema anterior en el caso a=0.

2. (2,5 puntos) Calcule la siguiente integral indefinida:



3. a) (0,75 puntos) Descomponer el número 12 en dos sumandos positivos de forma que el producto del primero por el cuadrado del segundo sea máximo.
b) (1 punto) Hallar el valor de k para que 
c) Sea una función real de variable real, continua y derivable en toda la recta real. Supongamos que f(0)0 y f(x+y)=f(x)f(y) para cualquier pareja de números reales x e y. Demostrar que f(0)=1; f(x)0; f(x)>0 y f´(x)=f´(0)f(x)

4. a) (1 punto) Hallar el plano que contiene a la recta de ecuación paramétrica 
v:(2,1,3)+t(2,1,0)
y es perpendicular al plano de ecuación 
x+z=2

b) (1,5 puntos) Probar que los vectores:
{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)}
Forman una base de R3 y dar las coordenadas del vector (1,-2,0) en la base anterior.