Solución al problema del rango de matrices que dependen de un parámetro

Ejercicio 3.- Dadas las matrices:

      , 

(a) [1,75 puntos] Calcula el rango de A según los diferentes valores de t.
(b) [0,75 puntos] Razona para qué valores de t el sistema AX=0 tiene más de una solución.
(a) Para calcular el rango de una matriz cuadrada, calculo el determinante, que quedará en función del parámetro t. Mientras que el determinante sea distinto de cero, tendrá rango tres. Para los valores de t en los que |A|=0, sustituiré en la matriz inicial y saltará a la vista si el rango de la matriz es uno (las tres filas serían proporcionales) o dos.

Apoyado en las propiedades de los determinantes... sustituiré c2 --> c2-c1 para obtener dos ceros en la primera fila.
Desarrollando por la primera fila...
Se puede sacar factor común a t-1...
Resultando...

Por lo tanto... 



(b) Al tratarse de un sistema homogéneo (igualado a 0), el rango de la matriz ampliada será idéntico al de la matriz principal. Por lo tanto para t=1 y para t=2 tenemos un sistema compatible indeterminado.
Podemos resolver los sistemas de ecuaciones. Dado que el rango es 2, prescindo de una fila en cada caso (concretamente, de la segunda)